Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.
Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором \(~\vec r\), проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).
За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В , совершает перемещение \(~\Delta \vec r\), равное хорде АВ , и проходит путь, равный длине дуги l .
Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ . Угол выражают в радианах.
Скорость \(~\vec \upsilon\) движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью . Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt за который эта дуга пройдена:
\(~\upsilon = \frac{l}{\Delta t}.\)
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью :
\(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}.\)
В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).
При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω = const; υ = const.
Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса-вектора \(~\vec r\) и угол φ , который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 = 0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ , то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время \(~\Delta t = t - t_0 = t\) равен \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности :
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t . Учитывая, что \(~\Delta \varphi = \frac{l}{R}\), получаем\[~\omega = \frac{l}{R \Delta t} = \frac{\upsilon}{R} \Rightarrow\]
\(~\upsilon = \omega R\) - формула связи между линейной и угловой скоростью.
Промежуток времени Τ , в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения :
\(~T = \frac{\Delta t}{N},\)
где N - число оборотов, совершенных телом за время Δt .
За время Δt = Τ тело проходит путь \(~l = 2 \pi R\). Следовательно,
\(~\upsilon = \frac{2 \pi R}{T}; \ \omega = \frac{2 \pi}{T} .\)
Величина ν , обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения :
\(~\nu = \frac{1}{T} = \frac{N}{\Delta t}.\)
Следовательно,
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 18-19.
На этом уроке мы рассмотрим криволинейное движение, а именно равномерное движение тела по окружности. Мы узнаем, что такое линейная скорость, центростремительное ускорение при движении тела по окружности. Также введем величины, которые характеризуют вращательное движение (период вращения, частота вращения, угловая скорость), и свяжем эти величины между собой.
Под равномерным движением по окружности понимают, что тело за любой одинаковый промежуток времени поворачивается на одинаковый угол (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равномерное движение по окружности
То есть модуль мгновенной скорости не меняется:
Такую скорость называют линейной .
Хотя модуль скорости не меняется, направление скорости изменяется непрерывно. Рассмотрим векторы скорости в точках A и B (см. Рис. 7). Они направлены в разные стороны, поэтому не равны. Если вычесть из скорости в точке B скорость в точке A , получаем вектор .
Рис. 7. Векторы скорости
Отношение изменения скорости () ко времени, за которое это изменение произошло (), является ускорением.
Следовательно, любое криволинейное движение является ускоренным .
Если рассмотреть треугольник скоростей, полученный на рисунке 7, то при очень близком расположении точек A и B друг к другу угол (α) между векторами скорости будет близок к нулю:
Также известно, что этот треугольник равнобедренный, поэтому модули скоростей равны (равномерное движение):
Следовательно, оба угла при основании этого треугольника неограниченно близки к :
Это означает, что ускорение, которое направлено вдоль вектора , фактически перпендикулярно касательной. Известно, что линия в окружности, перпендикулярная касательной, является радиусом, поэтому ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности. Называется такое ускорение центростремительным.
На рисунке 8 изображены рассмотренный ранее треугольник скоростей и равнобедренный треугольник (две стороны являются радиусами окружности). Эти треугольники являются подобными, так как у них равны углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми (радиус, как и вектор перпендикулярны к касательной).
Рис. 8. Иллюстрация к выводу формулы центростремительного ускорения
Отрезок AB является перемещением (). Мы рассматриваем равномерное движение по окружности, поэтому:
Подставим полученное выражение для AB в формулу подобия треугольников:
Понятий «линейная скорость», «ускорение», «координата» не достаточно для того, чтобы описать движение по кривой траектории. Поэтому необходимо ввести величины, характеризующие вращательное движение.
1. Периодом вращения (T ) называется время одного полного оборота. Измеряется в системе СИ в секундах.
Примеры периодов: Земля вращается вокруг своей оси за 24 часа (), а вокруг Солнца - за 1 год ().
Формула для вычисления периода:
где - полное время вращения; - число оборотов.
2. Частота вращения (n ) - число оборотов, которое тело совершает в единицу времени. Измеряется в системе СИ в обратных секундах.
Формула для нахождения частоты:
где - полное время вращения; - число оборотов
Частота и период - обратно пропорциональные величины:
3. Угловой скоростью () называют отношение изменения угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое этот поворот произошел. Измеряется в системе СИ в радианах, деленных на секунды.
Формула для нахождения угловой скорости:
где - изменение угла; - время, за которое произошел поворот на угол .
На этом уроке мы рассмотрим криволинейное движение, а именно равномерное движение тела по окружности. Мы узнаем, что такое линейная скорость, центростремительное ускорение при движении тела по окружности. Также введем величины, которые характеризуют вращательное движение (период вращения, частота вращения, угловая скорость), и свяжем эти величины между собой.
Под равномерным движением по окружности понимают, что тело за любой одинаковый промежуток времени поворачивается на одинаковый угол (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равномерное движение по окружности
То есть модуль мгновенной скорости не меняется:
Такую скорость называют линейной .
Хотя модуль скорости не меняется, направление скорости изменяется непрерывно. Рассмотрим векторы скорости в точках A и B (см. Рис. 7). Они направлены в разные стороны, поэтому не равны. Если вычесть из скорости в точке B скорость в точке A , получаем вектор .
Рис. 7. Векторы скорости
Отношение изменения скорости () ко времени, за которое это изменение произошло (), является ускорением.
Следовательно, любое криволинейное движение является ускоренным .
Если рассмотреть треугольник скоростей, полученный на рисунке 7, то при очень близком расположении точек A и B друг к другу угол (α) между векторами скорости будет близок к нулю:
Также известно, что этот треугольник равнобедренный, поэтому модули скоростей равны (равномерное движение):
Следовательно, оба угла при основании этого треугольника неограниченно близки к :
Это означает, что ускорение, которое направлено вдоль вектора , фактически перпендикулярно касательной. Известно, что линия в окружности, перпендикулярная касательной, является радиусом, поэтому ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности. Называется такое ускорение центростремительным.
На рисунке 8 изображены рассмотренный ранее треугольник скоростей и равнобедренный треугольник (две стороны являются радиусами окружности). Эти треугольники являются подобными, так как у них равны углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми (радиус, как и вектор перпендикулярны к касательной).
Рис. 8. Иллюстрация к выводу формулы центростремительного ускорения
Отрезок AB является перемещением (). Мы рассматриваем равномерное движение по окружности, поэтому:
Подставим полученное выражение для AB в формулу подобия треугольников:
Понятий «линейная скорость», «ускорение», «координата» не достаточно для того, чтобы описать движение по кривой траектории. Поэтому необходимо ввести величины, характеризующие вращательное движение.
1. Периодом вращения (T ) называется время одного полного оборота. Измеряется в системе СИ в секундах.
Примеры периодов: Земля вращается вокруг своей оси за 24 часа (), а вокруг Солнца - за 1 год ().
Формула для вычисления периода:
где - полное время вращения; - число оборотов.
2. Частота вращения (n ) - число оборотов, которое тело совершает в единицу времени. Измеряется в системе СИ в обратных секундах.
Формула для нахождения частоты:
где - полное время вращения; - число оборотов
Частота и период - обратно пропорциональные величины:
3. Угловой скоростью () называют отношение изменения угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое этот поворот произошел. Измеряется в системе СИ в радианах, деленных на секунды.
Формула для нахождения угловой скорости:
где - изменение угла; - время, за которое произошел поворот на угол .
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.