АГ.40. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах 
ФМП.3. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ
функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки
n-мерного пространства переменных х 1 , . . ., х п. Приращение
функции f в точке x (0) , где
наз. полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx 1 , . . ., Dx n аргументов х 1 , . . ., х п, подчиненных только условию, что точка x (0) +Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dx k f функции f в точке х (0) по переменной х k , т. е. такие приращения Df, для к-рых Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., п, k - фиксировано (k=1, 2, . . ., п).
ФМП.4. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по
О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:
Другие обозначения: Аналогично и для перемен-
ной у. 
Заметив, что определяется при неизменном у, а - при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z = (х, у) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вычисления частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.
ФМП.5. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции
Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:
2) для произвольной последовательности (x n ) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x 0 , соответствующая последовательность (f (x n )) значений функции сходится при n → ∞ к f (x 0);
3) или f (x ) - f (x 0) → 0 при x - x 0 → 0;
4) такое, что или, что то же самое,
f : ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f (x 0) - ε , f (x 0) + ε [.
Из определения непрерывности функции f в точке x 0 следует, что
Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a , b [, то функция f называется непрерывной на этом интервале .
ФМП.6. В математическом анализе, частная производная - одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:
График функции z = x ² + xy + y ². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz .
Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где d x f - частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате x k равна производной по направлению , где единица стоит на k -ом месте.
ЛА 76) Сист. ур-ний наз-ся крамеровской, если число уравнений равно числу неизвестных.
ЛА 77-78) Сист. наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
ЛА 79-80) Совместная сист. наз-ся определенной, если у нее только одно решение, и неопределенной в противном случае.
ЛА 81) …определитель крамеровской системы был отличен от нуля
ЛА 169) Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы = .
ЛА 170) Если определитель крамеровской системы отличен от нуля, то система определена, и ее решение может быть найдено по формулам 
ЛА 171) 1. Найдем решение крамеровской системы уравнений матричным способом; 2.. Запишем систему в матричном виде ; 3.Вычислим определитель системы, используя его свойства: 4. Затем записывает обратную матрицу А-1 ; 5. Поэтому
ЛА 172) Однородная система линейных уравнений AX = 0. Однородная система всегда совместна, поскольку имеет, по крайней мере, одно решение
ЛА 173) Если хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам , , , где t - произвольное число. Каждое отдельное решение получается при каком-либо определенном значении t.
ЛА 174) Совокупность решений однород. системы наз-ся фундаментальной системой решений, если: 1) линейно независимы; 2) любое решение системы является линейной комбинацией решений .
АГ118 . Общее уравнение плоскости имеет вид…
Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости .
АГ119 .Если плоскость a описывается уравнением Ax+D=0,то...
ПР 10 .Что такое бесконечно малая величина и каковы ее основные свойства?
ПР 11 . Какая величина называется бесконечно большой? Какова ее связь
с бесконечно малой?
ПР12.К акое предельное соотношение называется первым замечательны пределом? Под первым замечательным пределом понимается предельное соотношение
ПР 13 Какое предельное соотношение называется вторым замечательным пределом?
ПР 14 Какие пары эквивалентных функций Вы знаете?
ЧР64 Какой ряд называется гармоническим? При каком условии он сходиться?
Ряд вида называется гармоническим.
ЧР 65 .Чему равна сумма бесконечной убывающей прогрессии?
ЧР66. Какое утверждение понимается под первой теоремой сравнения?
Пусть даны два положительных ряда
Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .
ЧР67 . Какое утверждение понимается под второй теоремой сравнения?
Предположим, что . Если существует предел
то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
ЧР 45 Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся.
ЧР 29 Гармонический ряд это ряд вида…. Он сходится, когда
Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .
АГ 6. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.
Любая пара неколлинеарных векторов, лежащих в данной плоскости, образует базис на этой плоскости.
АГ 7. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.
Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.
АГ 8, Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Для того чтобы найти координаты вектора с заданными началом и концом, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала: если , , то .
АГ 9.а) Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ).
АГ 10. Нет, т.к. радианная мера угла между двумя векторами всегда заключена между и
АГ 11. Скаляр- это любое действительное число.Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.
АГ 12. мы можем вычислить расстояние между точками, базисные векторы, угол между векторами.
АГ 13. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:
Его длина равна 
Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
Скрещивающиеся прямые легко распознать по таким признакам. Признак 1. Если на двух прямых найдутся четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то эти прямые скрещиваются (рис. 1.21).
Действительно, если бы данные прямые пересекались бы или были бы параллельны, то они лежали бы в одной плоскости, а тогда и данные точки лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.
Признак 2. Если прямая О лежит в плоскости , а прямая b пересекает плоскость а в некоторой точке
М, не лежащей на прямой а, то прямые а и b скрещиваются (рис. 1.22).
Действительно, взяв любые две точки на прямой а и любые две точки на прямой b, мы приходим к признаку 1, т.е. а и b скрещиваются.
Реальные примеры скрещивающихся прямых дают транспортные развязки (рис. 1.23).
В пространстве пар скрещивающихся прямых, в известном смысле, больше, чем пар параллельных или пересекающихся прямых. Это можно пояснить так.
Возьмем в пространстве некоторую точку А и некоторую прямую а, не проходящую через точку А. Чтобы провести через точку А прямую, параллельную прямой а, надо через точку А и прямую а провести плоскость а (предложение 2 п. 1.1), а затем в плоскости а провести прямую b, параллельную прямой а (рис. 1.24).
Такая прямая b лишь одна. Все прямые, проходящие через точку А и пересекающие прямую О, также лежат в плоскости а и заполняют ее всю за исключением прямой b. Все же остальные прямые, идущие через А и заполняющие все пространство кроме плоскости а, будут скрещиваться с прямой а. Можно сказать, что скрещивающиеся прямые в пространстве - это общий случай, а пересекающиеся и параллельные - это частные случаи. "Малые шевеления" скрещивающихся прямых оставляют их скрещивающимися. Но свойства быть параллельными или пересекающимися при "малых шевелениях" в пространстве не сохраняются.
Если две прямые в пространстве имеют общую точку, то говорят, что эти две прямые пересекаются. На следующем рисунке, прямые a иb пересекаются в точке A. Прямые а и с не пересекаются.
Любые, две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Параллельные прямые
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Для обозначения параллельных прямых используют специальный значок - ||.
Запись a||b означает, что прямая а параллельна прямой b. На рисунке представленном выше, прямые а и с параллельны.
Теорема о параллельных прямых
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.
Скрещивающиеся прямые
Две прямые, которые лежат в одной плоскости, могут либо пересекаться либо быть параллельными. Но в пространстве две прямые не обязательно должны принадлежать оной плоскости. Они могут быть расположены в двух разных плоскостях.
Очевидно, что прямые расположенные в разных плоскостях не пересекаются и не являются параллельными прямыми. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающими прямыми .
На следующем рисунке показаны две скрещивающиеся прямые a и b, которые лежат в разных плоскостях.
Признак и теорема о скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Теорема о скрещивающихся прямых : через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве. Их всего три.
1. Прямые пересекаются. (То есть они имеют лишь одну общую точку.)
2. Прямые параллельны. (То есть они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.)
3. Прямые скрещиваются. (То есть они расположены в разных плоскостях.)
Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются. Признак скрещивающихся прямых Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости, а прямая b пересекает плоскость в точке B, не принадлежащей прямой a. Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежала бы и точка B. Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью должна быть плоскость. Но тогда прямая b лежала бы в плоскости, что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы? Решение: Для каждого ребра оснований имеется три ребра, с ним скрещивающихся. Для каждого бокового ребра имеется два ребра, с ним скрещивающихся. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 5
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Решение: Каждое ребро оснований участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Каждое боковое ребро участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 6
