Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

Ответы:

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

Ответы:

Формулы сокращенного умножения. Итог.

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть

Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

Где - второе число, входящее в нашу скобку.

Второе число, входящее в скобку, равно.

Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

Потренируйся - преобразуй следующие выражения:

Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

1. - докажи, что это равносильно.

1. - нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.

Разность квадратов

Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.

Разность квадратов это не квадрат разности!

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

Получилось? Сверим результаты:

Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание:

Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

Записал? Сравним полученные выражения:

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

Сравни полученные выражения:

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

Сравни полученные выражения:

Тренировка

Ответы:

Подведем итоги:

Существует 7 формул сокращенного умножения:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

1. .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
.

Раскроем скобки и приведем подобные:

2. .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
.

3. .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
.

4. .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

Аналогично:

В разности кубов знаки чередуются.

6. .

.

7. .
Раскроем скобки в правой части:
.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

Решение:

1. Используем формулу квадрат суммы: .
2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

Пример 2:

Найдите значение выражения: .

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

Пример 3:

Упростите выражение:

Решение двумя способами:

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...

Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

Как тебе эта статья?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.

И удачи на экзаменах!

Содержание урока

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y ) 2 .

Выражение (2x + 3y ) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y )

(2x + 3y ) 2 = (2x + 3y )(2x + 3y )

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y ) 2 = (2x + 3y )(2x + 3y ) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

То есть выражение (2x + 3y ) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x + 3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b ) 2

Выражение (a + b ) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b )

(a + b ) 2 = (a + b )(a + b )

Выполним это умножение:

(a + b ) 2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

То есть выражение (a + b ) 2 равно a 2 + 2ab + b 2

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Оказывается, что случай (a + b ) 2 можно распространить для любых a и b . Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y ) 2 можно решить с помощью тождества (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y ) 2 . В данном случае переменной a соответствует член 2x , а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y ) 2 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 3y + (3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Тождество (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3) 2 . Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Второй способ:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2 . Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a + 3) 2 = (5a ) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a 2 . Если увеличить сторону квадрата на b , то площадь будет равна (a + b ) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b . У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b , то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a 2 . Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab . Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a 2 + ab + ab + b 2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab , которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab» . Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab . В результате получается выражение a 2 + 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b ) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b )

(a − b ) 2 = (a − b )(a − b )

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2

(a − b ) 2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Пример 1 . Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x − 5) 2 = (7x ) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Значит, (7x − 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5) 2 = (7x − 5) (7x − 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a 2 , то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b , будет равна (a − b ) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b . У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b , то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b , поскольку старая сторона a уменьшилась на b . Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a 2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b )b

a 2 − ab − (a − b )b

Раскроем скобки в выражении (a − b )b

a 2 − ab − ab + b 2

Приведем подобные слагаемые:

a 2 − 2ab + b 2

В результате получается выражение a 2 − 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения . Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y ) 2 , и мы хотим воспользоваться формулой (a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , то вместо b нужно подставлять 2y , а не −2y . Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y ) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y ) 2 = (5x ) 2 − 2 × 5x × 2y + (2y ) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Если подставлять −2y , то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y ) 2 = (5x + (−2y )) 2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y ) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y )) 2 = (5x ) 2 + 2 × 5x × (−2y ) + (−2y ) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y )) 2 . В данном случае, применяя формулу (a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 вместо b следует подставить (−y )

(x − (−y )) 2 = x 2 − 2 × x × (−y ) + (−y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y ) , удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y . Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y ) 2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b ) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b ) 3

Выражение (a + b ) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b )

(a + b ) 3 = (a + b )(a + b )(a + b )

Но выражение (a + b ) 3 также может быть записано как (a + b )(a + b ) 2

(a + b ) 3 = (a + b )(a + b ) 2

При этом сомножитель (a + b ) 2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a 2 + 2ab + b 2 .

Тогда (a + b ) 3 можно записать как (a + b )(a 2 + 2ab + b 2) .

(a + b ) 3 = (a + b )(a 2 + 2ab + b 2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b ) 3 = (a + b )(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b ) 3 = (a − b )(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Пример 1 . Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений

(x + 1) 3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Пример 2 . Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6a 2) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9

Пример 3 . Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.

(a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × (n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Пример 4 . Преобразовать выражение (2x 2 − x 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2x 2) 2 × x 3 + 3 × 2x 2 × (x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4x 4 × x 3 + 3 × 2x 2 × x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b )(a + b )

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b )(a + b ) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

То есть выражение (a − b )(a + b ) равно a 2 − b 2

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b )(a + b ) можно распространить для любых a и b . Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x ) 2 − 5 2

Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x ) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 . У нас получится тот же результат 4x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Пример 2 . Выполнить умножение (4x − 5y )(4x + 5y )

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(4x − 5y )(4x + 5y ) = (4x ) 2 − (5y ) 2 = 16x 2 − 25y 2

Пример 3 . Выполнить умножение (2a + 3b )(2a − 3b )

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(2a + 3b )(2a − 3b ) = (2a ) 2 − (3b ) 2 = 4a 2 − 9b 2

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b ) в (a + b ) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b )(a + b ) , так и (a + b )(a − b ) . Результат по прежнему будет равен a 2 − b 2 , поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b ) и (2a − 3b ) можно записать как (2a + 3b )(2a − 3b ) , так и (2a − 3b )(2a + 3b ) . Результат всё так же будет равен 4a 2 − 9b 2 .

Пример 3 . Выполнить умножение (7 + 3x )(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(7 + 3x )(3x − 7) = (3x ) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Пример 4 . Выполнить умножение (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Пример 5 . Выполнить умножение (−5x − 3y )(5x − 3y )

В выражении (−5x − 3y ) вынесем за скобки −1 , тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y )

Произведение (5x + 3y )(5x − 3y ) заменим на разность квадратов:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x ) 2 . А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b )(a 2 + ab + b 2)

Первый многочлен (a − b ) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a 2 + ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат суммы a 2 + 2ab + b 2

Например, выражение 4x 2 + 6xy + 9y 2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y .

Действительно, первый член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 4x 2 является квадратом выражения 2x , поскольку (2x ) 2 = 4x 2 . Третий член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 9y 2 является квадратом выражения 3y , поскольку (3y ) 2 = 9y 2 . Член находящийся в середине 6xy , является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b ) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a (a 2 + ab + b 2) − b (a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

То есть выражение (a − b )(a 2 + ab + b 2) равно a 3 − b 3

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Первый многочлен (2x − 3y ) это разность двух выражений 2x и 3y . Второй многочлен 4x 2 + 6xy + 9y 2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y . Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . В нашем случае умножение (2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x ) 3 − (3y ) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x (4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y (4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Пример 2 . Выполнить умножение (3 − x )(9 + 3x + x 2)

Первый многочлен (3 − x ) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x )(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b )(a 2 − ab + b 2)

Первый многочлен (a + b (a 2 − ab + b 2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a 2 − ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат разности a 2 − 2ab + b 2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x 2 − 6xy + 9y 2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y .

(2x ) 2 − 2x × 3y + (3y ) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2

(a + b )(a 2 − ab + b 2) = a (a 2 − ab + b 2) + b (a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

То есть выражение (a + b )(a 2 − ab + b 2) равно a 3 + b 3

(a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Первый многочлен (2x + 3y ) это сумма двух выражений 2x и 3y , а второй многочлен 4x 2 − 6xy + 9y 2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . В нашем случае умножение (2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x ) 3 + (3y ) 3 = 8x 3 + 27y 3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x (4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y (4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Пример 2 . Выполнить умножение (2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2)

Первый многочлен (2x + y ) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

(2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x ) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x (4x 2 − 2xy + y 2) + y (4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

При и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это , и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример . Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)
Решение :

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите и тему .

Пример . Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в стандартного вида.

Решение :

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример . Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение :

Ответ: \(250 000\).

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример . Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение :

Ответ: \(8\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при и работе с .

Пример . Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\) .

Решение :

Ответ: \(x+3\).

Пример .Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\).
Решение :

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно ! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!) .Сократите дробь .
Решение :

\(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) \(=\)		На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
\(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\) \(=\)		Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: \(4xy\) запишем как \(2·x·2y\), а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
\(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\) \(=\)		Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
\(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\) \(=\)		Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\) \(=\)		И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
		Готов ответ.

Алгебра

Формулы сокращенного умножения применяются для преобразования выражений. Тождества используются для представления целого выражения в виде многочлена и разложения многочленов на множители.

• 1 Квадрат суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Квадрат разности (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Разность квадратов a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
• 4 Куб суммы (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 Куб разности (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Сумма кубов a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Разность кубов a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Формулы для квадратов

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Формулы для кубов

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Формулы для четвертой степени

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
следует из \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы

2. Квадрат разности

3. Сумма и разность квадратов

4. Сумма в третьей степени (куб суммы)

5. Разность в третьей степени (куб разности)

6. Сумма и разность кубов

7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени

8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени

9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени

10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - любое натуральное число

11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - четное положительное число

12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - нечетное положительное число

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.

Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!